Energía
Introducción
Algunas de las herramientas más poderosas de la física se basan en los principios de la conservación.  La idea subyacente a un principio de conservación es que existen algunas propiedades de los sistemas que no cambian, aunque otras cosas del sistema puedan cambiar.   

50 golosinas

Aún 50 golosinas

Aún 50 golosinas

Por ejemplo, supongamos que tenemos un paquete de golosinas que contiene exactamente 50 caramelos.  Si saco todas las golosinas del paquete y las pongo sobre la mesa, todavía tendré 50 golosinas.  Si las distribuyo a lo largo de toda la mesa y formo un rectángulo, todavía tendré 50 golosinas.  Sin importar las diferentes maneras en que pueda distribuirlas, tendré siempre 50 golosinas.  Pueden verse diferente en cada caso, pero la cantidad total permanece igual.  En este ejemplo, podemos decir que la cantidad de golosinas se conserva.  

La energía es otro ejemplo de la propiedad de conservación de un sistema.  Es difícil elaborar una definición significativa del concepto de energía.  Es una propiedad básica del universo (como el tiempo y el espacio) y, por lo tanto, es difícil definirla.  Es más fácil visualizar una golosina que una cantidad determinada de energía.  Sin embargo, es posible describir matemáticamente las distintas formas que puede tomar.  Una vez hecho esto, podemos decir que ha resultado ser cierto que si sumamos todos los tipos y cantidades de energía dentro de un sistema cerrado, la cantidad total de energía no cambia. 

Para trabajar con esta definición, es importante comprender la idea de un sistema cerrado.  Es verdad que podemos cambiar la cantidad de golosinas en la mesa (podemos comernos una, tirar una al piso, o abrir otro paquete y desparramar nuevas golosinas en la mesa).  Tenemos que justificar cada golosina que se agregue o se quite de la cantidad inicial o veremos que la cantidad cambió, y nuestro principio de la conservación habrá sido violado.

Lo mismo sucede con la energía.  La cantidad de energía en un sistema cerrado permanece constante.  Esto significa que si agregamos o extraemos energía del sistema, tendremos que justificarlo.  A menos que hagamos eso con éxito, parecerá que hemos violado el principio de la conservación.  Una forma de mover la energía dentro y fuera de un sistema es a través de lo que denominamos Trabajo.  El trabajo tiene una definición matemática muy específica en la física, y representa el movimiento de la energía mecánica que ingresa o sale de un sistema.  Si el trabajo sólo significa mover energía dentro o fuera de nuestro sistema, entonces la siguiente fórmula es  verdadera: 

Cantidad inicial de energía + trabajo = cantidad final de energía
ó
E0 + W = Ef

Las formas que puede tomar la energía varían en gran medida.  Algunas de estas formas incluyen la energía gravitatoria, eléctrica, química, cinética, magnética, elástica y nuclear.  Éstas son sólo algunas formas que la energía puede tomar, pero existen muchas más.  En este capítulo, discutiremos varias formas mecánicas de la energía, la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía potencial elástica, junto con el concepto de trabajo.  

Trabajo
El trabajo se define como el producto de la fuerza aplicada sobre un objeto y la distancia que recorre el objeto en dirección a dicha fuerza.  La descripción matemática de esta definición es:

Trabajo = Fuerza x Distancia paralela
O
 W = Fd paralela

Es importante notar que el trabajo es proporcional al producto de la fuerza y la distancia que el objeto recorre en forma paralela a dicha fuerza.  Esto significa que el objeto se mueve en la dirección en que lo empujo o lo atraigo hacia mí, y por lo tanto, estoy realizando trabajo.  Si no se mueve, o si se mueve en forma perpendicular a la dirección en la que lo estoy moviendo, no estoy haciendo trabajo.  

El trabajo es positivo

No se realiza trabajo

Esto puede ser confuso, ya que el uso de la palabra “trabajo” en español es similar pero no es exactamente el mismo que su uso en física.  Por ejemplo, si alguien tuviera que pagarme para sostener una caja pesada en el aire mientras mueven una mesa para ponerla debajo, yo diría que estoy haciendo un trabajo.  Pero no estaría trabajando de acuerdo con la definición del término en el campo de la física, porque la caja no se estaría moviendo en la dirección de la fuerza que estoy aplicando.  Estoy aplicando una fuerza hacia arriba, pero la caja permanece inmóvil.  Ya que d paralelo es igual a cero, también lo es la cantidad de trabajo, W.

Lo mismo aplica si ponemos la caja en un carro sin ningún tipo de fricción y lo empujamos a un costado de la habitación a una velocidad constante.  Como la velocidad es constante, la aceleración es cero.  Si no hay fricción que superar, entonces la fuerza que necesito aplicar (una vez que está en movimiento) es cero.  Sin fuerza… no hay trabajo.

Fricción

Velocidad = constante

Si no hay fricción, no se realiza trabajo

f.      The speeds at A and C would be less.

El último ejemplo en el que no realizo trabajo (de acuerdo con la definición de la física del trabajo) es si cargo la caja alrededor de la habitación a una velocidad constante y la coloco en una repisa a la misma altura.  Una vez más, no necesito realizar una fuerza horizontal para mantener el movimiento a una velocidad constante,  por lo que no hay fuerzas en dirección horizontal.  Estoy aplicando una fuerza en dirección vertical para evitar que la caja caiga al piso, pero la caja no se mueve en dirección vertical, se mueve en dirección horizontal.  Por lo tanto, en la dirección horizontal la fuerza es igual a cero y, en la dirección vertical, d paralela es igual a cero.  El resultado es W = 0 en ambos casos. 

Se realizó trabajo en el objeto para moverlo a la repisa.

No se realizó trabajo en el objeto para moverlo a la misma altura

Si bien nuestra definición de trabajo no siempre se relaciona a nuestra experiencia, parece ser una herramienta muy útil para el desarrollo de una teoría de la energía.  De hecho, las tres formas de energía que discutiremos en este capítulo estarán más claras si las analizamos con respecto al trabajo.  

Unidades de energía
La unidad de energía puede derivarse de la ecuación básica de trabajo.
W = F x d paralela
Las unidades de fuerza, según el sistema internacional, son los Newtons (N) y, de distancia, los metros (m).  Por lo tanto, la unidad de energía es el Newton-metro (N-m).  En honor a James Presscott Joule (1818-1889), un pionero fundamental en el concepto de la energía, también nos referimos a esa unidad como el Joule (J).
J = N-m
J = (kg–m / s2) - m
J = N-m = kg-m2 / s2

Ejemplo 1: Se aplica una fuerza constante de 45 N a una masa sobre una superficie sin fricción.  La fuerza se aplica en la misma dirección que el movimiento del objeto.  ¿Cuánto trabajo hace la fuerza en una distancia de 6m?

D = 6 m

constante

Fricción

Movimiento

Como la fuerza y la distancia que recorre el objeto son paralelas una de la otra, el trabajo realizado por la fuerza será, sencillamente, el producto de ambos.
W = Fdparalela
    = 45 N x 6m 
    = 270 N-m
    = 270 J
______________________________________________________________
Ejemplo 2: Una fuerza de 45 N mantiene a un objeto en movimiento circular a una velocidad constante en una superficie horizontal sin fricción.  La circunferencia del círculo mide 6 m.  ¿Cuánto trabajo hace la fuerza durante una rotación?

La fuerza necesaria para mantener un objeto moviéndose en círculo a una velocidad constante en una superficie horizontal sin fricción se dirige hacia el centro del círculo.  Sin embargo, la velocidad del objeto es siempre tangente al círculo.  Por lo tanto, F y d son siempre perpendiculares entre sí.  Como resultado, tanto d paralela como el trabajo realizado por la fuerza son iguales a cero.

Energía potencial gravitatoria
Imagina que levantas una caja del piso de tu cuarto y la colocas en un estante.  El estante se encuentra a una altura “h”, y la caja tiene una masa "m".  Para levantar la caja del piso es necesario aplicar una fuerza, por lo menos, equivalente a su peso, "mg".   Esto significa que realizaste un trabajo, al levantar la caja en la misma dirección en que se mueve (hacia arriba).  De hecho, al principio fue necesario aplicar un poco más de fuerza para levantarla y un poco menos al final para detenerla pero, en proporción, la fuerza aplicada sería exactamente igual a mg.

W = F x d paralela
W = (mg) h
W = mgh

Distancia = h

El área que forman la fuerza y la distancia (área sombreada) es igual a la energía potencial gravitacional

Fuerza = mg = constante

Pero nuestra definición de conservación de la energía nos dice lo siguiente: 
E0 + W = Ef

Esto significa que el trabajo que hiciste debe haber agregado energía al sistema en la siguiente cantidad: 
W = Ef - E0

Debido a que el trabajo que realizaste era igual a mgh, esto significa que la energía del sistema debe haber aumentado por dicha cantidad:
Ef - E0 = mgh

Esta energía extra debe estar almacenada de alguna forma.  Esto nos lleva al primer tipo de energía, la energía potencial gravitatoria (EPG).  El término EPG refleja el hecho de que esta energía resulta del cambio de altura de la masa, ubicada en el campo gravitatorio de la tierra.  La energía potencial gravitatoria, EPG, de un sistema, es el resultado de: 
EPG= mgh

Ejemplo 3: Determina la EPG (relativa al piso) de una caja de 50 kg ubicada 12 m por sobre el nivel del piso.

EPG= mgh
         = (50kg)(9,8 m/s2)(12m) 
         = 5880 kg-m2/s2
         = 5900 J
______________________________________________________________

Ejemplo 4: Un hombre de 52 kg baja las escaleras de un avión de 4,2 m de altura.  ¿Cuánto trabajo realizó?

E0 + W = Ef
W = Ef - E0
    = 0 - EPG0
    = - mgh0
    = -(52kg)(9,8 m/s2)(4,2m)
    = - 2140 kg-m2/s2 
W = -2100 J

Energía cinética
Volvamos a la caja que pusiste en la repisa algunas páginas más atrás.  Bien, el simple hecho de empujarla de la repisa nos permitirá derivar nuestra segunda forma de energía.  La caja caerá al piso con una aceleración igual a g. Podemos determinar su velocidad justo antes de chocar contra el piso si utilizamos la tercera ecuación de cinemática. 

v2 = v02 + 2ad
v2 = 0 + 2gh
v2 = 2gh
gh = v2 / 2

La caja se encuentra apenas sobre el piso y se mueve a la velocidad indicada a continuación.  No hay energía ingresando o saliendo del sistema durante este proceso.  Esto significa que es la misma que tenía la caja cuando se encontraba en la repisa, mgh.  Entonces:

E0 + W = Ef
E0 + 0 = Ef
mgh = Ef
gh = Ef / m

Ahora podemos igualarlo a la expresión de "gh" que derivamos antes:

v2/2= Ef / m
Ó
Ef = ½ mv2

Justo antes de que la masa choque contra el piso, su EPG (relativa al piso) debe ser igual a cero, debido a que su altura es cero.  La caja aún tiene la misma cantidad de energía, pero en una nueva forma, porque ya no está en la forma de energía potencial gravitatoria.  En este caso, la energía se almacena en la forma de la masa que se mueve a una determinada velocidad.  Este tipo de energía de energía  mecánica se denomina energía cinética, y está dada por: 
EC = ½ mv2

Al empujar la caja de la repisa, iniciamos un proceso que convirtió la energía potencial gravitacional en energía cinética.  La masa pasó de un estado inmóvil a cierta altura a un estado en movimiento cerca del piso.

Justo antes de chocar contra el piso, la caja tenía EC = ½ mv2

En el aire, la caja tenía EC y EP

En la repisa, la caja tenía EPG = mgh

No podemos seguir la caja en el momento en que golpea el piso porque esto implicaría un nuevo conjunto de energías más complejas.  La razón por la que es difícil desarrollar una buena teoría de la energía es por las complejidades mencionadas anteriormente.  Deberíamos explicar la energía que se transfiere al movimiento de los átomos que componen la caja y el piso (calor), el sonido del golpe de la caja golpeando contra el piso (energía sonora) y la deformación permanente de la caja y del piso.  

Es posible explicar esto en un estudio más detallado, pero no es necesario para lo que queremos obtener en este curso.  Vale destacar, sin embargo, que los experimentos de Joule fueron decisivos para colocar la teoría de la energía en un terreno sólido.  Joule logró demostrar que la energía térmica podía ser la explicación de la "energía perdida" en muchos ejemplos como el que acabamos de ver.  Al hacer esto, creó el método para desarrollar una teoría poderosa y completa.  Por esta razón, la unidad de energía utilizada en el sistema SI se denominó Joule.  

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Ejemplo 5: Determine la EC de una pelota de 3 kg que tiene una velocidad de 2,1 m/s.

EC = ½ mv2
        = ½ (3kg)(2,1m/s)2 
        = (1,5 kg)(4,41m2/s2)
         = 6,615 kg-m2/s2
         = 6,6 J
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Ejemplo 6: Utiliza la conversión de la energía para determinar la altura que una pelota alcanzará si sale disparada del piso a una velocidad de 24 m/s.

E0 + W = Ef                                       	
	
Pero W = 0, entonces
E0  = Ef     	
	La energía es EPG o EC, entonces
EC0 + EPG0 = ECf + EPGf     	
	Luego sustituimos en las fórmulas de cada uno
½ mv02 + mgh0 = ½ m(vf)2+ mghf      	
	pero h0 y  vf  son = 0, entonces
½ mv02 = mghf       	
	Divide ambos lados por m para cancelarlo
½ v02 =ghf         	
	Duplica ambos lados
 v02 = 2ghf         	
	Divide ambos lados por g y 2
hf  =  v02 / 2g                                       	
	Sustituye por los valores dados
hf  =  (24 m/s)2 / 2(9,8 m/s2)					
hf  =  (576 m2/s2) / 2(9,8 m/s2)
hf  =  29,4 m

Es importante notar que la altura a la que se puede levantar un objeto no depende de su masa, sino de su velocidad inicial.

Energía potencial elástica
La forma final de energía que discutiremos en este capítulo es la energía potencial elástica.  Ésta representa la energía que puede ser almacenada en un resorte.  Primero, debemos comprender que es necesario aplicar fuerza para comprimir o estirar un resorte.  Esto lo explicó por primera vez Robert Hooke y, por lo tanto, se lo denomina ley de Hooke.  

Hooke observó que es necesario realizar cierta fuerza para estirar un resorte apenas un poco.  Sin embargo, mientras más lo estiramos, más difícil es continuar estirándolo.  La fuerza necesaria aumenta en relación a la cantidad que ya se estiró.  Lo mismo se observa cuando comprimimos un resorte.  Esto se puede establecer matemáticamente de la siguiente manera:

Fresorte = - k x  
En esta ecuación, k representa la constante de elasticidad (una característica del resorte en particular), y x representa la distancia que el resorte se comprime o se estira a partir de su longitud natural.  El signo negativo nos dice que la fuerza que el resorte ejerce es contraria al punto de balance (el largo que tiene cuando no se lo estira ni se lo comprime).

Por lo tanto, si la constante de elasticidad de este resorte en particular es de 100 N/m, necesitaríamos ejercer una fuerza de 100 Newtons para estirarlo o comprimirlo un largo de 1m.  Si fuéramos a ejercer una fuerza de 50N, se estiraría 1/2m. Una fuerza de 10 N lo estiraría o comprimiría una distancia de 1/10m. Eso se ve en el siguiente gráfico:

Equilibio

Es importante comparar el gráfico que apareció anteriormente al gráfico de la caja que se colocaba en la repisa en nuestra discusión acerca de la energía potencial gravitacional.  En ese caso, la fuerza era constante, mg, sin importar cuánto se levantó la caja.  El gráfico de esto aparece a continuación: Además, el gráfico muestra el hecho de que el área del rectángulo que está formada por la fuerza, mg (en el eje y) y la distancia, h (en el eje x), es igual a mgh.  Esto es igual al trabajo necesario para levantar la caja a la altura de la repisa (y también a la energía potencial gravitatoria que tenía al alcanzar esa altura).  Por la tanto, el trabajo necesario para levantar la caja es igual al área debajo de la curva del  gráfico de fuerza vs distancia.

Así también, en el caso del resorte, el trabajo necesario para estirarlo o comprimirlo será igual al área debajo de la curva de fuerza vs distancia.  Sin embargo, como podemos ver a continuación, en este caso la figura formada es un triángulo con una altura igual a kx (igual y opuesta a la fuerza realizada por el resorte, -kx), y una base igual a x. El área del triángulo resulta de ½ base por altura.  Por lo tanto, el trabajo necesario para comprimir o estirar un resorte en una distancia x es el resultado de: 

W = Área debajo de la curva F vs d
						 La curva forma el triángulo indicado.
W = ½ (base) (altura)
W = ½ (x) (kx) 
W = ½ kx2 
La energía que se imparte en el resorte por medio del trabajo debe ser almacenada en la energía potencial elástica (EPE) del resorte.  Por lo tanto, EPE = 1/2kx2

- (área) debajo de la línea es igual a la fuerza.
(por ej.) F = kx
F = (1/2)(100N/m)(1m)
F = -50 N (área rosada)

Largo (m)

Constante de elasticidad (N/m)

	
_______________________________________________________
Ejemplo 7: Determina la energía almacenada en un resorte cuya constante de elasticidad, k, es de 200 N/m, y que está comprimido 0,11m de su punto de balance

EPE = ½ kx2
        = ½ (200 N/m)(0,11m)2 
        = (100 N/m)(0,0121 m2)
         = 1,21 kg-m2/s2
         = 1,2 J
_______________________________________________________

Ejemplo 8: Se utiliza un rifle lanza dardos  accionado por resorte para disparar un dardo en forma vertical, hacia arriba.  La masa del dardo es de 40 g.  La constante de elasticidad del resorte en el rifle es de 500 N/m, y está comprimido a una distancia de 5 cm antes de salir disparado.  Determina su velocidad al salir del rifle y la altura máxima que alcanzará (medida a partir de su ubicación inicial con la compresión especificada del resorte).

Para la primera parte del problema, necesitamos determinar la velocidad del dardo justo en el momento en que sale disparado del rifle.  En ese punto, toda la EPE del resorte se habrá convertido en EC y EPG.
E0 + W = Ef                                       	
	
Pero W = 0, entonces
E0  = Ef     	
	La energía es EPG o EC, entonces
EPE0  = ECf + EPGf     	
	Luego sustituimos en las fórmulas de cada uno
½ kx2 = ½ mvf2+ mghf      	
	Sustraemos mghf  de ambos lados
½ mvf2 =½ kx2 - mghf       	
	Dividimos ambos lados por m
½ vf2 = ½ (k/m)x2 - ghf         	
	Duplicamos ambos lados
 vf2 = (k/m)x2 - 2ghf         	
	Sustituimos por los valores dados
vf2 = (500N/m)/0,04kg))(0,05m)2 - 2(9,8 m/s2)(0,05m)        	
vf2 = 31 m2/s2- 0,98 m2/s2	
vf = 5,5 m/s

Para la segunda parte del problema, necesitamos utilizar 5,5 m/s como la velocidad inicial y luego determinar, a partir de ello, qué altura alcanzará.  Ahora podemos utilizar el trabajo que hicimos en el ejemplo 6 para simplificar el problema.

hf  =  v02 / g
hf  =  (5,5 m/s)2 / (9,8 m/s2)					
hf  =  (30,2 m2/s2) / (9,8 m/s2)
hf  =  3,1 m
________________________________________________________________

Potencia
Muchas veces es importante saber no sólo si hay suficiente energía disponible para llevar a cabo una tarea, sino también para saber cuánto tiempo requerirá la misma.  El concepto de potencia nos permite responder estas preguntas.

La potencia se define como la velocidad a la que se realiza un trabajo.  En matemática, esto se expresa de diversas maneras.  La forma más destacada es: 
Potencia = Trabajo por unidad de tiempo
P = W / t
					Ya que W = Fd paralelo, esto también puede expresarse de la siguiente manera: 
P = (Fd paralelo) / t			
					La reagrupación de esto da como resultado:
P = F(d paralelo / t)
					Ya que v = d/t
P = Fv paralelo

Entonces, podemos definir la potencia como el producto de la fuerza aplicada y la velocidad del objeto paralelo a dicha fuerza.  Una tercera expresión útil de potencia puede derivarse de nuestro enunciado original acerca del principio de conservación de la energía.
P = W / t
					Ya que W = Ef - E0 
P = (Ef - E0) / t	
						
Entonces, la potencia absorbida por un sistema puede enseñarse como la velocidad en la que cambia la energía del sistema.

Unidades de potencia
La unidad de potencia, según el sistema internacional, puede derivarse de su ecuación básica.
P = W / t
La unidad de energía, según el sistema internacional, es el Joule (J) y, la de tiempo, es el segundo (s).  Por lo tanto, la unidad de potencia, según el sistema internacional, es el Joule por segundo (J / s).  Esto ha sido designado como el Watt (W), en honor a James Watt (1736 - 1819), un pionero en el desarrollo del motor a vapor.
W = J/s
W = (N-m)/s
W = ((kg-m/s2)(m)/s
W = J/s = kg-m2 / s3

Ejemplo 9: ¿Cuál es la potencia mínima que se necesita para levantar una masa de 120 kg 25 m en dirección vertical en 8 segundos?

P = W / t                                       	
	pero W = Fd paralelo, entonces
P = Fd paralelo / t	
	Pero la fuerza necesaria para levantar una masa es mg, entonces
P = mgd paralelo / t     	
	Sustituimos por los valores dados
P = (120kg) (9,8 m/s2)(25m)/(8s)		
P = 3675 kg-m2/s3	
P = 3700 W	
________________________________________________________________	

Ejemplo 10: Si un motor puede generar 45.000 W de potencia, ¿a qué velocidad puede levantar un ascensor de 1200 kg con hasta 8 personas con un peso de 110 kg cada una?

En primer lugar, necesitaremos calcular la masa total del ascensor cargado con la máxima cantidad de personas.
mtotal = mascensor + 8 (mpersonas)
mtotal = 1200kg + 8 (110kg)
mtotal = 1200kg + 880kg	
mtotal = 2080 kg
	Entonces 
P = Fvparalela
	Reconocemos que F = mg y v = vparalela
P = (mg)v
	Si dividimos ambos lado por mg obtenemos
v = P/(mg)	
					      Si substituimos los valores, obtenemos
v= 45.000W/((2080kg)(9,8 m/s2))	
v = 2,21 (kg-m2/s3)/(kg-m/s2)	
v = 2.2 m/s	
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Máquinas simples
Las máquinas simples nos permiten lograr cosas que, de otra forma, serían muy difíciles o imposibles.  Estas máquinas han sido utilizadas a lo largo de toda la historia.  En un principio, eran accionadas manualmente.  A medida que la tecnología evolucionaba, se demostró que era posible utilizar otros recursos, tales como el agua, el viento, el vapor, los motores de combustión interna y los motores eléctricos para hacer funcionar estas máquinas.  Sin embargo, sin importar su fuente de potencia, las máquinas simples aun cumplen con la misma función de permitir la mejor concordancia entre la fuente de energía y el trabajo que debe realizarse.

Estas máquinas incluyen el plano inclinado, palanca, tornillo y polea.  Todas ellas trabajan en base a la siguiente ecuación: 
W = Fd paralela
En todos estos casos, la fuerza será puesta en paralelo a la distancia del movimiento, por lo que podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: 
W = Fd
Las máquinas no pueden crear energía.  En lugar de eso, nos permiten utilizar la energía de forma más eficiente al variar la fuerza y distancia involucradas a la vez que dejan el producto de esos dos factores, el trabajo, inalterado.

Por ejemplo, digamos que necesitas levantar un equipo de 100 kg (220 lb) del piso para colocarlo en un camión, a 1 m del nivel del piso.  Eso sería prácticamente imposible para la mayoría de nosotros sin la ayuda de una máquina simple.  Una persona promedio no podría levantar 200 libras ni a un centímetro del piso, mucho menos a un metro.  La fuerza necesaria, en unidades según el sistema internacional, estaría dada por 

Mg = (100kg)(9,81 m/s2)
Mg = 981 N

E0 + W = Ef
Podemos tomar E0 = 0, entonces
W = Ef
 						y W = Fd, para obtener
Fd = Ef
						Pero Ef = GPE = mghf, entonces
Fd = mghf
Resolvemos F dividiendo ambos lados por d
F = mghf / d
						Sustituimos los valores
F = (100kg)(9,8 m/s2)/1m
F = 980 N

Sin embargo, si un plano inclinado de  5 m de largo (utilizando cojinetes de baja fricción) se extiende en la parte trasera del camión hasta el piso, el equipo podría empujarse por la rampa.  El resultado de esto será el aumento de d, de 1m a 5m.   Calculemos la fuerza necesaria para empujar el equipo por la rampa (asumiendo que no hay fricción). 

E0 + W = Ef
Podemos tomar E0 = 0, entonces
W = Ef
 						y W = Fd, para obtener
Fd = Ef
						Pero Ef = EPG = mghf, entonces
Fd = mghf
Resolvamos F dividiendo ambos lados por d
F = mghf / d						
Sustituimos los valores
F = (100kg)(9,8 m/s2)/5m
F = 200 N

Ya que d es ahora 5 veces mayor y W permanece igual (aquí es donde la parte del plano sin fricción es importante), la fuerza requerida se vuelve 1/5 mayor.  En lugar de requerir 980N, la tarea podrá ser realizada aplicando una fuerza de 200N (44 lb).  Incluso si consideramos la fricción, la tarea pasaría de ser imposible a ser relativamente fácil.  La disyuntiva de tener que empujar la caja una distancia cinco veces mayor vale la pena si ésta es lo suficientemente pesada.

Es el mismo principio en que se basan todas las máquinas simples.  Cuando el objetivo es reducir la cantidad de fuerza requerida, W se mantiene constante y d aumenta.  El resultado es que la fuerza disminuye por el mismo múltiplo en que aumenta la distancia.

En algunos casos, el objetivo es incrementar la fuerza.  Por ejemplo, supongamos que estamos utilizando una palanca para mover una roca pesada.  Una palanca consiste de una tabla o barra rígida por encima de un punto de apoyo.  Al aumentar la distancia entre tus manos y el punto de apoyo más que la distancia entre el punto de apoyo y el objeto, la fuerza que se ejerce en el objeto aumenta.

Las máquinas simples pueden trabajar en cualquier dirección.  Si empujas del lado más largo de la palanca, la fuerza aumenta y la distancia disminuye.  Sin embargo, también se puede empujar del lado más corto para reducir la fuerza e incrementar la distancia.  En ambos casos, en una máquina simple perfectamente eficiente, el producto de la fuerza y la distancia es el mismo.  Por lo tanto, la mejor manera de ver estos problemas es utilizar la ecuación del trabajo en ambos lados y reconocer que el principio de conservación de la energía asegura que son iguales.  El trabajo que ejerces de tu lado del punto de apoyo afectará el trabajo que se realiza sobre el objeto del otro lado.

Wext = Wint 
Sustituimos W = Fd (F y d son paralelos) en ambos lados de la ecuación
Fextdext = Fintdint 
					Dividimos ambos lados por dext	
Fext = Fintdint /dext
					Reagrupamos los términos
Fext = Fint (dint /dext)

Debido a que dint es proporcional al largo de la palanca de mi lado del punto de apoyo y dext es proporcional al largo de la palanca del otro lado del fulcro, esta máquina aumenta la fuerza por un factor igual al radio de esas longitudes.  El sacrificio radica en que, aunque incrementamos la cantidad de fuerza, disminuimos la distancia en que tenemos que mover el objeto por el mismo factor. 

_________________________________________________________
Ejemplo 11: Necesito levantar una roca de 500 kg (1100 lb) a unos pocos cm del piso.  Lo más cerca que puedo poner el punto de apoyo de la parte inferior de la piedra es a 10 cm.  ¿Qué largo deberá tener la palanca para que yo pueda mover la roca empujándola con todo mi peso, 500N?
Wext = Wint 
Sustituimos W = Fd (F y d son paralelos) en ambos lados de la ecuación
Fextdext = Fintdint 
					
Dividimos ambos lados por Fint
	
Fextdext / Fint = dint
					Ó
dint = Fextdext / Fint 
					Sustituimos los valores con Fext = mpiedrag
dint = (500kg)(9,8 m/s2)(0,1m)/500N
dint = 0,98 m
					Pero la palanca consiste de ambos lados, dint + dext 
L = dint + dext
L = 0,1m + 0,98m
L = 1,1m

Preguntas del capítulo
1.	Un bloque cuelga de un hilo; ¿ejerce algún tipo de trabajo en él la fuerza gravitatoria?
2.	¿Cuál es la diferencia entre en trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en objetos que ascienden y objetos que descienden?
3.	Una mujer sube las escaleras; ¿está realizando algún trabajo? La misma mujer está parada dentro de un ascensor. ¿Realiza algún trabajo ahora?
4.	¿Qué sucede con la velocidad de un objeto si la fuerza de fricción realiza algún trabajo?  ¿Por qué?
5.	Un objeto cuelga de un hijo en equilibrio; ¿realiza trabajo la fuerza elástica?
6.	Se sabe que el agua ejerce presión al estar dentro de un contenedor; en ese caso, ¿también realiza trabajo?
7.	¿Qué tipo de energía tiene una bala en movimiento?
8.	Se lanza una piedra en forma vertical, hacia arriba. ¿Qué tipo de energía tenía la piedra inicialmente? ¿Qué sucede con esa energía a medida que la piedra asciende?
9.	Una pelota de acero y una de aluminio, de igual volumen, se encuentran a la misma altura. ¿Qué pelota tiene mayor energía potencial gravitatoria?
10.	¿Qué sucede con la energía potencial gravitatoria de un objeto cuando asciende? ¿Y cuándo desciende? 
11.	¿Es posible que la fuerza de fricción estática realice trabajo mecánico? Da un ejemplo.
12.	¿Puede la energía cinética ser negativa? Explica
13.	Describe la  transformación que sufre la energía cuando una masa pequeña oscila en el extremo de un hilo liviano.
14.	Describe las transformaciones que sufre la energía cuando una masa pequeña oscila en el extremo de un hilo elástico.
15.	Un ascensor se eleva en forma vertical a una velocidad constante. El trabajo neto que realiza el elevador ¿es negativo, positivo o cero? Explica.
16.	¿Puede ser negativo el trabajo neto que se realiza sobre un objeto en desplazamiento? Explica.     

Problemas del capítulo
Trabajo:  
Ejemplos
1.	El motor de un automóvil aplica una fuerza de 65 kN; ¿cuánto trabajo realiza el motor cuando el automóvil recorre una distancia de 75 m?

2.	Una fuerza realiza 30.000 J de trabajo en una distancia de 9,5 m. Determina la fuerza aplicada.

3.	¿Qué altura puede alcanzar una carga que recibe una fuerza de 40 N cuando se realizan 395 J de trabajo?

4.	¿Cuánto trabajo se necesita para levantar un bloque de 500 kg a una altura de 12 m?

Trabajo en clase
5.	Se aplica una fuerza de 60 N en una distancia de 15 m. ¿Cuánto trabajo se realizó?

6.	Un vagón de ferrocarril recorre una distancia de 960 m tirado por un ferrocarril que realiza 578 kJ de trabajo durante el recorrido. ¿Cuánta fuerza realiza la locomotora? 

7.	Un niño empuja un trineo a una velocidad constante de 0,6 m/s aplicando una fuerza de 350 N. ¿Cuánto trabajo se realizará durante un período de 1.800 s?

Trabajo en casa
8.	Una avioneta recorre una distancia de 150 m en la pista antes de despegar del piso. Determina el trabajo realizado por la avioneta si aplica una fuerza de 13.500 N.

9.	Un caballo tira de un carro aplicando una fuerza de 450 N. Indica la distancia que recorre el caballo si aplicó 89 J de trabajo.

10.	Un camión recorre una distancia constante de 45 m/s. ¿Cuánto trabajo realizó el motor del camión durante un período de 2 horas si aplicó una fuerza de 25 kN?

11.	El aire levanta un ave de 3,6 kg a 50 metros de altura. ¿Cuánto trabajo realizó la corriente de aire?

Energía potencial gravitatoria (EPG):
Ejemplos
12.	Un juguete de 2,4 kg cae de 2m a 1m. ¿Cuál fue el cambio en la EPG?

13.	Si un objeto cae 18 m y pierde 36 J de EPG. ¿Cuál es la masa del objeto?

14.	Un objeto 1 Kg pierde 20 J de EPG a medida que cae. ¿De qué altura cae?

15.	Se mueve un objeto de 3 kg de 5 a 8m del piso. ¿Cuál fue el cambio en su energía potencial?

Trabajo en clase
16.	Una persona de 80 kg cae de una cascada a una altura de 60 m. ¿Cuál fue el cambio en su EPG?

17.	Un sensor de energía potencial gravitatoria (EPG) adherido a una pelota de 12 Kg cambia de 12 J a 22 J, simplemente por el cambio de altura. ¿Cuál fue el cambio en la altura?

18.	Un hombre sube 12 m en un ascensor. Gana 6500 J de energía potencial gravitatoria. ¿Cuál es su masa?

19.	Cuando se suelta una roca de 5 kg desde una altura de 6 m en un Planeta X, ésta pierde 24 J de EPG. ¿Cuál es la aceleración debido a la gravedad del Planeta X?

Trabajo en casa
20.	¿Cuál es la energía potencial gravitatoria de un automóvil de 450 kg en la parte superior de un estacionamiento de 25 m de altura?

21.	¿Cómo cambia la energía potencial gravitatoria de 45 k de peso que se mueven de 2 a 18 m en la Tierra? ¿Cómo será en la luna (g = 1,6 m/s2)? 

22.	Un libro de 0,25 kg cae de una repisa a una silla de 0,5 m. ¿Cuál fue el cambio en la EPG?

23.	Una niña de 60 kg cae de una cascada y pierde 10 kJ de EPG. ¿Desde qué altura cayó?

24.	Cuando se suelta una roca de 0,5 kg desde una altura de 12 m en un Planeta X, pierde 45 J de EPG. ¿Cuál es la aceleración debido a la gravedad del Planeta Z?

Energía Cinética (CE)
Ejemplos
25.	¿Cuánta energía cinética tiene un hombre de 80 kg mientras corre a 1,5 m/s?

26.	Un ave vuela a una velocidad de 2,3 m/s; si tiene una energía cinética de 14 J ¿cuál es su masa?

27.	Un niño realiza 12 J de trabajo al empujar un camión de juguete de 3 kg. ¿A qué velocidad se mueve el juguete luego de que el niño termina de empujarlo?
Trabajo en clase
28.	Un objeto de 6 kg tiene una velocidad de 24 m/s. ¿Cuál es su energía cinética?

29.	Una roca golpea el piso a una velocidad de 7 m/s y con una energía cinética de 100 J. ¿Cuál es la masa de la roca?

30.	Se dispara una bala hacia un bloque de madera de 12 kg. Luego de detenerse en el bloque de madera, el bloque tiene 29 J de energía cinética. ¿A qué velocidad se mueve el bloque?

Trabajo en casa
31.	¿Cuánta energía cinética tiene un hombre de 80 kg si corre a 9 m/s? 

32.	¿Cuál es la masa de un objeto en movimiento que tiene una velocidad de 4 m/s y una energía cinética de 2.000 J?

33.	Un auto de 400 Kg tiene 1,8 x 105 J de energía cinética. ¿A qué velocidad se está moviendo?

34.	¿A qué velocidad se mueve un automóvil de juguete de 3 Kg que tiene 20 J de energía cinética?

35.	Un estudiante corre a su clase de física a una velocidad 6 m/s. Si tiene 880 J de energía cinética, ¿cuál es su masa?

36.	¿Cuál es la velocidad de un automóvil de 1.200 kg en movimiento con una energía cinética de 15 kJ?

Energía potencial elástica
Ejemplos
37.	Un resorte con una constante de elasticidad de 120 N/m se estira 0,02 m. ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria del resorte?

38.	Un resorte elástico almacena 45 J de energía potencial cuando se lo estira 2 cm. ¿Cuál es su constante de elasticidad?

39.	Una fuerza de 50 N hace que un resorte se comprima 0,09 m. ¿Cuál es su constante de elasticidad? ¿Cuál es la energía potencial del resorte?

Trabajo en clase
40.	Una fuerza de 80 N hace que un resorte se comprima 0,15 m. ¿Cuál es su constante de elasticidad? ¿Cuál es la energía potencial del resorte?

41.	Un resorte con una constante de elasticidad de 200 N/m se estira 0,03 m. ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria del resorte?

42.	Un resorte almacena 68 J de energía potencial cuando se lo estira 6 cm. ¿Cuál es su constante de elasticidad?

43.	Un resorte con una constante de elasticidad de 60 N/m tiene 24 J de EPE almacenados. ¿Cuánto se comprime?
	
Trabajo en casa
44.	¿Cuánta energía hay almacenada en un resorte con una constante de elasticidad de 150 N/m cuando se lo comprime 2 cm?

45.	Un resorte con una constante de elasticidad de 175 N/m tiene 20 J de EPE almacenados. ¿Cuánto se comprime?

46.	Un resorte almacena 96 J de energía potencial cuando se lo estira 5 cm. ¿Cuál es su constante de elasticidad?

47.	Una masa de 0,2 kg adherida al extremo de un resorte hace que se estire 3 cm. ¿Cuál es su constante de elasticidad? ¿Cuál es la energía potencial del resorte?

48.	Una masa de 5 kg que cuelga de un resorte hace que éste se estire 7 cm. ¿Cuál es su constante de elasticidad? ¿Cuál es la energía potencial del resorte?

Problemas mixtos
Trabajo en clase
49.	Una roca de 5 kg se eleva 28 m sobre el nivel del piso. ¿Cuál fue el cambio en su energía potencial?

50.	Un carro de 65 kg viaja a una velocidad de 4,6 m/s. ¿Cuál es su energía cinética?

51.	¿Cuál es la energía potencial de un resorte estirado, si su constante es de 40 N/m y, su elongación, de 5 cm?

52.	Un objeto de 3,5 kg gana 76 J de energía potencial a medida que se eleva en forma vertical. Determina la nueva altura del objeto.

53.	Un resorte tiene una constante de 450 N/m. ¿Cuánto debe estirarse el resorte para almacenar 49 J de energía potencial?

54.	Un maratonista de 60 kg tiene 1.500 J de energía cinética. ¿A qué velocidad se está moviendo?

Trabajo en casa
55.	Un resorte con una constante de 270 N/m tiene 5 J de energía almacenada. ¿Cuánto se comprime?

56.	Una roca de 0,02 kg cae y toca el piso con 0,36 J de energía cinética. ¿Cuál era su velocidad?

57.	Una mujer en bicicleta tiene una energía cinética de 3600 J mientras viaja a una velocidad de 12 m/s. ¿Cuál es su masa?

58.	En un Planeta X, una roca de 0,5 kg cae a una distancia de 2,5 metros del piso y pierde 20 J de energía. ¿Cuál es la gravedad del Planeta X?

59.	Un paracaidista de 50 kg pierde 2.400 kJ de energía en un salto. ¿Cuál fue el cambio en su altura?

60.	Un niño comprime una pistola de juguete 1 cm. Si había 3 mJ de energía almacenada en el resorte, ¿cuál era la constante del resorte?

61.	Se arroja una piedra en forma vertical hacia arriba a una velocidad de 14 m/s, y en ese momento, tiene 37 kJ de energía cinética. ¿Cuál era la masa de la piedra?

Conservación de la energía
Ejemplos
62.	Una escopeta con una constante de elasticidad de 250 N/m se comprime 5 cm. ¿Qué velocidad tendrá un dardo de 0,25 kg cuando se dispare?

63.	Un estudiante utiliza un resorte (con una constante elasticidad de de 180 N/m) para lanzar una canica en forma vertical. La masa de la canica es 0,004 kg, y el resorte está comprimido 0,03 m. ¿Cuánto ascenderá la canica?

64.	Un estudiante utiliza un resorte (con una constante de elasticidad de 120 N/m) para lanzar una canica en forma vertical. La masa de la canica es de 0,002 kg y el resorte está comprimido 0,04 m. 
a.	¿Qué altura alcanzará la canica? 
b.	¿Qué velocidad tendrá cuando salga disparada de la escopeta?

65.	Un carro de montaña rusa alcanza una velocidad de 25 m/s al pie de la primera subida. ¿Qué altura tiene la subida?

Trabajo en clase
66.	¿Cuánto trabajo se necesita para levantar una masa de 3 kg durante un recorrido de 0,75 m de distancia?

67.	Se dispara una flecha en forma vertical hacia arriba, y ésta alcanza una altura de 134 m. Determina la velocidad inicial de la flecha a nivel del piso.

68.	Un estudiante utiliza un resorte para lanzar una canica en dirección vertical. La masa de la canica es de 0,002 kg y, cuando el resorte se estira 0,05 m, ejerce una fuerza de 10 N. ¿Cuál es la altura máxima que puede alcanzar la canica?

69.	Una montaña rusa para niños arranca desde la cima de una pista. Si su velocidad máxima a nivel del piso es de 8 m/s, determina la altura desde la que arrancó el recorrido.

70.	Un estudiante utiliza un resorte con una constante de 130 N/m dentro de un lanza-proyectiles. Si se necesitaron 56 J de energía potencial para lanzar el proyectil hasta cierta altura, ¿cuál era la compresión del resorte?

71.	Determina cuánto trabajo se realiza para acelerar un tren de 8x105 kg: a) desde una altura de 10 m/s a 15 m/s; b) desde una altura de 15 m/s a 20 m/s; c) hasta detenerse, con una velocidad inicial de 20 m/s.

Trabajo en casa
72.	¿Cuánto trabajo se realiza al acelerar un automóvil de 2.000 kg desde una posición inicial de descanso a una velocidad de 30 m/s?

73.	Se arroja una roca desde una altura de 2,7 m. ¿Qué velocidad tendrá cuando llegue al piso?

74.	Un carro de montaña rusa arranca desde la cumbre de una pista a 125 m de altura. Determina su velocidad cuando alcance el nivel del piso.

75.	Un automóvil de 1.500 kg, que se mueve a una velocidad de 20 m/s, se detiene de golpe. ¿Cuánto trabajo realizaron los frenos?

76.	Un proyectil se dispara en forma vertical hacia arriba con una velocidad inicial de 190 m/s. Determina la altura máxima del proyectil.

77.	Se utiliza una escopeta para disparar una pelota de 0,5 kg; para llevar a cabo este experimento, el resorte se comprime, inicialmente, 0,005 m. Determina la velocidad de la pelota cuando sale de la escopeta, si la constante del resorte es de 395 N/m.

78.	Un estudiante utiliza un lanzador cargado por resorte para lanzar una canica en dirección vertical. La masa de la canica es de 0,003 kg y, la constante del resorte, de 220 N/m. ¿Cuál es la altura máxima que la canica puede alcanzar (a) cuando se la comprime 2 cm? (b) ¿y cuando se la comprime 4 cm?

Potencia
Ejemplos
79.	Un motor térmico genera 23 kJ de trabajo durante 1.800 s. Determina la potencia generada por el motor.

80.	¿Cuánto trabajo realiza un motor de 15 kW durante 3,5 h?

81.	¿Cuánto tiempo debe trabajar un motor eléctrico de 400 W para hacer 300 kJ de trabajo?

82.	¿Cuánta potencia es necesaria al utilizar una fuerza de 12 N para empujar un objeto a una velocidad de 3 m/s?

Trabajo en clase
83.	El motor de un ascensor en una torre de apartamentos puede realizar 3.500 kJ de trabajo en 5 minutos. Determina la potencia generada por el motor.

84.	Para mover un objeto 96 m, durante 12 s, se necesitan 500 W de potencia. ¿Cuál es la fuerza que se aplica en el objeto? 

85.	Una turbina de calor genera una potencia máxima de 250 MW. ¿Cuánto trabajo puede hacer la turbina durante 7,8 h?

86.	¿Cuánto tiempo se necesita para que el motor de un automóvil realice 278 kJ de trabajo, si su potencia máxima es de 95 kW?

Trabajo en casa
87.	¿Cuánto tiempo se necesita para que un ascensor levante una carga de 2.000 kg 28 m sobre el nivel del piso, si su motor puede producir 13 kW de potencia?

88.	Se utiliza una bomba de 50 kW para extraer agua de una mina que se encuentra a 50 m de profundidad. Determina la masa del agua que puede ser extraída por la bomba en 1, 4 h.

89.	Algunos científicos calcularon que una ballena puede generar 150 kW de potencia al nadar debajo de la superficie del agua a una velocidad constante de 28 km/h. Determina la fuerza de resistencia del agua ejercida sobre la ballena.

90.	Un automóvil viaja a una velocidad constante de 21,6 km/h. Determina la potencia que genera el motor si puede proporcionar una fuerza máxima de 467 kN.

91.	Un torno de 7,35 kW puede mover un bloque de hierro a una velocidad constante haciendo una fuerza de 5,56 kN. Determina la velocidad del bloque.

Problemas generales
92.	Se aplica una fuerza de 255 N sobre una caja de 46 kg que se encuentra en una superficie horizontal plana. El coeficiente de la fricción cinética entre la caja y la superficie es de 0,3.

a.	Dibuja un diagrama  de cuerpo libre y determine todas las fuerzas aplicadas.

b.	Determina la aceleración de la caja.

c.	¿Qué distancia recorrerá la caja en 10 s?

d.	¿Cuál será su velocidad al final del recorrido?

e.	Determina la energía cinética luego de moverla durante 10 s.

f.	¿Cuánto trabajo realiza durante los primeros 10 segundos cada una de las siguientes fuerzas? Fuerza aplicada; fuerza de fricción; fuerza normal; fuerza gravitatoria; fuerza neta.

g.	Compara el trabajo realizado por la fuerza neta y la energía cinética final.

93.	Un trabajador empuja un cajón de 50 kg en una distancia de 7,5 m a nivel del piso. Lo empuja a una velocidad constante aplicando una fuerza horizontal constante. El coeficiente de la fricción cinética entre el cajón y la superficie es de 0,15.

a.	Determina la magnitud de la fuerza aplicada.

b.	¿Cuánto trabajo realizó el obrero sobre el cajón?

c.	¿Cuánto trabajo realizó la fuerza de fricción sobre el cajón?

d.	¿Cuánto trabajo realizó la fuerza normal sobre el cajón?

e.	¿Cuánto trabajo realizó la fuerza gravitatoria sobre el cajón?

f.	¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el cajón?

g.	¿Cuál fue el cambio en la energía cinética del cajón?

94.	Un pequeño bloque, con una masa de 250 g, se encuentra en un estado de reposo en la parte superior del aparato que aparece arriba. Luego se desliza sin fricción por la pendiente, alrededor de la curva, y se dirige hacia la sección del nivel final, a la derecha. La altura máxima de la pendiente es de 80 cm, y el radio de la curva es de 15 cm.

a.	Determina la energía potencial inicial del bloque

b.	Determina la velocidad del bloque al final de la curva

c.	Determina la velocidad del bloque en la parte superior de la curva.

d.	¿Cuál es la fuerza normal del bloque en el punto más bajo de la curva?

e.	¿Cuál es la fuerza normal del bloque en el punto más alto de la curva?

95.	Un bloque de 0,8 kg está adherido al extremo de un resorte, cuya constante es de 85 N/m. El bloque está ubicado en la superficie de una mesa que no tiene fricción y tiene un desplazamiento inicial de 3,5 cm antes de soltarlo.

a.	¿Qué tipo de energía tenía inicialmente el sistema de bloque-resorte?

b.	Determina la magnitud de la energía.

c.	¿Cómo cambia la energía total del sistema a medida que se empuja el bloque a lo largo de la superficie sin fricción? Explica.

d.	Determina la velocidad máxima del bloque.

96.	Se aplica una fuerza horizontal externa F a un carro de juguete de 2,5 kg a medida que éste se mueve en línea recta. La fuerza varía con el desplazamiento del carro, como se muestra en el gráfico anterior. Utilizando el gráfico, responde las siguientes preguntas.

a.	¿Cuánto trabajo realiza la fuerza aplicada a medida que el carro se mueve los primeros 10 m?

b.	Determina la energía cinética del carro cuando supera el punto de los 10 m.

c.	¿Cuál es la velocidad del carro cuando supera el punto de los 10 m.? 

d.	¿Cuál es el trabajo total realizado por la fuerza durante el desplazamiento del carro los primeros 30 m?

e.	¿Cuál es la energía cinética del carro cuando se encuentra a 30 m del punto inicial?

f.	¿Cuál es la velocidad del carro cuando se encuentra a 30 m del punto inicial?

97.	 Un objeto de 2 kg se mueve en línea recta. La fuerza neta que actúa sobre el objeto varía con el desplazamiento del objeto, como se muestra en el diagrama anterior. El objeto arranca desde una posición de descanso a un desplazamiento x = 0 con un tiempo t = 0, y recorre una distancia 20 m. Determine:

a.	La aceleración del objeto cuando recorrió 5 m.

b.	El tiempo que tardó en recorrer los primeros 12 m.

c.	La cantidad de trabajo que realizó la fuerza neta al desplazar el objeto los primeros 12 m.

d.	La velocidad del objeto luego de un desplazamiento de 12 m.

e.	La velocidad del objeto luego de un desplazamiento de 20 m.

98.	Un pequeño bloque, con una masa de 1,5 kg, se encuentra en un estado de reposo en la parte superior del aparato que aparece arriba. Luego se desliza sin fricción por la pendiente, alrededor de la curva, y se dirige hacia la sección del nivel final, a la derecha. Finalmente, el bloque choca contra un resorte y se detiene por un momento. La altura máxima de la pendiente es 2,5 m, el radio de la curva es de 0,9 m, y la constante del resorte es de 90 N/m.

a.	Determina la energía potencial inicial del bloque.

b.	Determina la velocidad del bloque en la parte superior de la curva.

c.	Determina la velocidad del bloque luego de atravesar la curva, en la parte plana del recorrido.

d.	¿Cuánto se comprimirá el resorte antes de detenerse?

99.	Un carro de montaña rusa con una masa de 500 kg arranca desde un punto de descanso hasta un punto A. El punto A se encuentra a una altura de 70 m por encima del punto más bajo de la pista. El carro se desliza cuesta abajo y sigue la pista alrededor de una curva con un radio de 15 cm. Ignora la fuerza de la fricción.

a.	¿Cuánto trabajo se necesita para que el carro alcance el punto A?

b.	Calcula la rapidez del carro en el punto C.

c.	En el dibujo del carro que aparece a continuación, traza y escribe los vectores que representan las fuerzas que actúan sobre el carro cuando se encuentra en el punto C.

d.	Calcula la velocidad del carro en el punto B.

e.	En el dibujo del carro que aparece a continuación, traza y escribe los vectores que representan las fuerzas que actúan sobre el carro cuando se encuentra hacia abajo en el punto B.

f.	Ahora, supongamos que la fricción es importante. ¿Cómo afectaría la fricción en las preguntas (a) y (c)?

1)	4875000 J
2)	3158 N
3)	9875 m
4)	58800 J
5)	900 J
6)	602,08 N
7)	378000 J
8)	2025000 J
9)	198 m
10)	8 x109 J
11)	1764 J

12)	23,52 J
13)	0,20 kg
14)	2,04 m
15)	88,2 J
16)	47040 J
17)	0,085 m
18)	55,3 kg
19)	0,8 m/s2
20)	110250 J
21)	7056 JTierra
	1152 JLuna
22)	3,675 J
23)	17 m
24)	7,5 m/s2

25)	90 J
26)	5,29 kg
27)	2,83 m/s
28)	1728 J
29)	4,08 kg	
30)	2,20 m/s
31)	162 J
32)	250 kg	
33)	30,4 m/s	
34)	3,65 m/s 
35)	48,9 kg
36)	5 m/s
	37)	0,024 J
38)	 225.000 N/m
39)	555,6 N/m
		2,25 J
40)	533,3 N/m
	6 J
41)	0,09 J
42)	37778 N/m
43)	0,89 m
44)	0,03 J
45)	0,48 m
46)	76800 N/m
47)	65,3 N/m
	0,0294 J
48)	700 N/m
1,715 J

49)	1372 J
50)	687,7 J 
51)	0,05 J
52)	2,22 m
53)	0,45 m
54)	7,07 m/s
55)	0,19 m
56)	6 m/s
57)	50 kg
58)	16 m/s2
59)	4.900 m
60)	60 N/m
61)	0,38 kg

	62)	5 m/s
63)	2,07 m
64)	a) 4,9 m
	b) 9,8 m/s
65)	31,9m
66)	22,05 J
67)	51,2 m/s
68)	12,8 m 
69)	3,27 m
70)	0,93 m
71)	a) 5,3125x107 J
	b) 7,4375x107 J
	c) 1,7x108 J
72)	900.000 J
73)	7,27 m/s
74)	49,5 m/s
75)	300.000 J
76)	1.842 m
77)	0,14 m/s
78)	a) 1,5 m
	b) 6,0 m
79)	12,8 W
80)	3,15x106 J
81)	750s
82)	 36 W
83)	11667 W
84)	 62,5N
85)	 1,17x1011 J
86)	 2,9 s
87)	 42,2 s
88)	 8.571,42 kg
89)	 5,357 N
90)	 1,008 x1010 W
91)	 1,32 m/s
92)	a) FN, mg, f, FA 
	b) 2,6 m/s2
	c) 130 m
	b) 26 m/s
	e) 15.548 J
	f) 33.150 J
	     17581 J
	     0 J
	     0 J
	     15569 J
	g) son equivalentes	93)	a) 73,5 N
	B. 551,25 J
	B. 551,25 J
	d) 0 J
	e) 0 J
	f) 0 J
	g) 0 J

94)	a) 1,96 J
	b) 3,96 m/s
	c) 3,13 m/s
	d) 28,586 N
	e) 13,883 N

95)	a) EPE
	B. 0,052 J
	c) EPE ↔ CE
	b) 0,36 m/s

96)	a) 100 J
	B. 100 J
	c) 8,9 m/s
	d) 300 J
	e) 300 J
	f) 15,5 m/s

97)	a) 2 m/s2
	b) 3,46 s
	B. 48 J
	b) 6,93 m/s
	e) 8 m/s

98)	a) 36,75 J
	b) 3,7 m/s
	c) 7 m/s
	d) 0,9 m

99)	a) 343000 J
	b) 37,04 m/s
	c) FN sube, mg baja
	b) 28 m/s
	e) FN baja, mg sube
	 f) menos velocidad en 
	    B y C	

Problemas del Capítulo  Ejemplos de Problemas

1.F=65KN              W=FD
   D= 75m      (65x10^3N)(75m)
   W=?                W=4.875.000

2.W=30.000J           W=FD
   D= 9,5m             F=W/D
   F=?                 (30.000J/9,5m)
                             F=3157,9N

3.F=40N                 W=FD                                           
   W=395J              D=W/F
   D=?                (395J)/(40N)
                            D=9,875m

4.W=?                    F=Mg               W=FD
   M=500kg       (9,8)(500Kg)    (4900N)(12m)
   D=12m             F=4900N         W=58.800
 
Tarea en clase

5.F=60N              W=FD
   D=15m         (60N)(15m)
   W=?                W=900N

6.D=960m           W=FD
   W=578kJ         F=W/D
   F=?             (578kJ)/(960M)
                         F=602,08N

7.V=.6m/s             x=vt                 W=FD
   F=350N       (0,6m/s)(1800s)  (350N)(1080m)
   T=1800s           x=1080m         W=378kJ
   W=?

Tarea en casa

8.D=150m              W=FD 
  F=13.500N    (150m)(13.500N)
  W= ?               W= 2.025.000J

9.F=450N             W=FD
  D=?                    D=W/F
  W=89kJ         (89kJ)/(450N)
                          D=197,78m

Tarea en casa (Cont.)
10.V=45m/s               D=vt             W=FD
     W=?                (45m/s)(7200s)  (25kN)(324.000)
      t=2hr=7200s  D= 324.000m W= 8,1x10^9J
      F=25kN

100.	m=3,6kg     F=mg              W=FD
      D=50m  (3,6kg)(9,8)      (35,28N)(50m)
      W=?        F= 35,28N         W=1764J

Energía potencial gravitatoria

h.	m=2,4kg      EPG=Mgh        EPG=Mgh
      xi=2m     (2.4kg)(9,8)(1m)(2.4kg)(9,8)(2m)
      xf=1m       EPG=23.52J      EPG=47,04J
      EPG=?            47,04-23,52=23,52J

13. h=18m      EPG=mgh        
      w=36J     36J=M(9,8)(18m)
      M-?        M=36J/(9,8)(18) 
                        M=0,204kg
                  
14. h=?             EPG=mgh        
 EPG=20J     20J=(1kg)(9,8)h
      M-1kg        H=20J/(9,8) 
                        H=2,04m

15. m=3kg      EPG=Mgh        EPG=Mgh
      xi=5m     (2,4kg)(9,8)(5m)(2,4kg)(9,8)(8m)
      xf=8m       EPG=147J      GPE=235,2J
      EPG=?            235,2-147=88,2J

Tarea en clase
16.m=80kg      EPG=Mgh
     D=60m     (80kg)(9,8)(60)
     EPG=?      EPG=47,040J

17.  h=?             EPG=mgh        
 EPG=10J       10J=(12kg)(9,8)h
      M-12kg    H=10J/(9,8)(12kg)
                            H=0,085m

18. h=12m                  EPG=mgh        
      EPG=6500J    6500=M(9,8)(12m)
      M-?                    M=6500J/(9,8)(12) 
                                  M=55,27kg
Tarea en clase (Cont.)
19.M=5kg         EPG=Mgh
     h=6m        24J= (5kg)g(6m)
   EPG=24J    g=24j/(5kg)(6m)
      g=?              g=0,8m/s^s

Tarea en casa
20.m=450kg      EPG=Mgh
     h=25m       (450kg)(9,8)(25m)
     EPG=?         EPG=110.250J

		      Tierra                Luna
21. m=45kg      EPG=Mgh        EPG=Mgh
      h=16m    (45kg)(9,8)(16m)(45kg)(1,6)(16m)
      EPG=?       EPG=7056J      EPG=1152J
               
22.m=0,25kg      EPG=Mgh
     h=1,5m       (.25kg)(9,8)(1,5)
     EPG=?         EPG=3,675J

23.h=?                 EPG=mgh        
 EPG=10kJ       10kJ=(60kg)(9,8)h
     M=60kg     h=10kJ/(9,8)(60kg) 
                               h=17,006m

h.	M=0,5kg         EPG=Mgh
     h=12m        45J= (0,5kg)g(12m)
   EPG=45J    g=45J/(0,5kg)(12m)
      g=?              g=7,5m/s^s

Ejemplos de energía cinética
25.M=80kg           EC=1/2mv^2
     v=1,5m/s     1/2(80kg)(1,5m/s)^2
		      EC= 90J

26.V=2,3m/s           EC=1/2mv^2
      EC=14J          14J=1/2m(2,3^2)
      M=?                 m=28J/(2,3^2)
                                 M=5,293J

27.EC=12J              EC=1/2mv^2
     m=3kg              12=1/2(3kg)v^2
      v=?                    v= √(24/(3kg))
                                  v=2,83m/s

Trabajo en clase
28.M=6kg           CE=1/2mv^2
     v=24m/s     1/2(6kg)(24m/s)^2
		    CE= 1728J

29. V=7m/s              EC=1/2mv^2
      KE=100J        100J=1/2m(7m/s)^2
      M=?                 m=200J/(49)
                                  M=4,08J

30. EC=29J              EC=1/2mv^2
     m=12kg              29J=1/2(12kg)v^2
      v=?                    v= √(29/(6kg))
                                  v=2,198m/s

Trabajo en casa
31.M=4kg           EC=1/2mv^2
     v=9m/s        1/2(4kg)(9m/s)^2
		      EC= 162J

32. V=4m/s             EC=1/2mv^2
      KE=2000J    2000J=1/2m(4m/s)^2
      M=?                 m=4000J/16
                                  M=250kg

33. EC=1.8x10^5J          EC=1/2mv^2
     m=400kg         1.8x10^5J=1/2(400kg)v^2
      v=?                    v= √(1,8x10^5J/(200kg))
                                          v=30,4m/s

34. EC=20J             EC=1/2mv^2
     m=3kg             20J=1/2(3kg)v^2
      v=?                    v= √(20J/(3kg))
                                    v=3,65m/s

35. V=6m/s             EC=1/2mv^2
      EC=880J      880J=1/2m(6m/s)^2
      M=?                 m=880J/18
                                  M=48,89kg

36. EC=15kJ             EC=1/2mv^2
     m=1200kg        15kJ=1/2(1200kg)v^2
      v=?                   v= √(30kJ/(1200kg))
                                      v=5m/s

Problemas de energía potencial elástica
37.K=120N/M        EPE=1/2Kx^2
     x=0,02m           1/2(120N/M)(0,02)^2
     EPE=?                   EPE=0,024J

38.EPE=45J           EPE=1/2Kx^2
 x=2cm=.02m        45J=1/2k(0,02)^2
      v=?                     k=90/0,0004
                              K=225.000N/M

39.F=50N F=Kx       EPE=1/2Kx^2
     x=.09   K=F/x   1/2(555,56)(0,09)^2
                 50/.09        EPE=2,25J
       K=555,56N/M

Trabajo en clase
40.F=80N F=Kx       EPE=1/2Kx^2
     x=0,15   K=F/x   1/2(533,33)(0,15)^2
                 80/0,15        EPE=5,99J
       K=533,33N/M

41.K=200N/M        EPE=1/2Kx^2
     x=0,03m           1/2(200N/M)(0,03)^2
     EPE=?                   EPE=0,09J

42.EPE=68J         EPE=1/2Kx^2
 x=6cm=0,06m      68=1/2k(0,06)^2
      k=?                   K=136/0,0036
                            K=3.777,78N/M 

43.K=60N/M        EPE=1/2Kx^2
     EPE=24J         24J=1/2(60)x^2
      x=?                    x=√(24/(30)
                                  x=0,894m

Trabajo en casa
44.K=150N/M        EPE=1/2Kx^2
     x=0,02m           1/2(150N/M)(0,02)^2
     EPE=?                   EPE=0,03J
 
45. K=175N/M        EPE=1/2Kx^2
     EPE=20J         20J=1/2(175)x^2
      x=?                    x=√(40/(175)
                                   x=0,478m

Trabajo en casa (Cont.)
46.EPE=96J         EPE=1/2Kx^2
 x=5cm=0,05m      96=1/2k(0,05)^2
      k=?                   K=192/0,0025
                            K=76.800N/M 
47.F=?           F=mg             F=Kx     
     x=0,03m   (0,2kg)(9,8)       K=F/x  
     m=0,2kg    F=1,96N       1,96N/0,03,
                                         K=65,33N/M

                      EPE=1/2Kx^2
                  1/2(65.33N/M)(0,03)^2
		EPE=0,0294J

48. .F=?           F=mg             F=Kx     
     x=0,07      (5kg)(9,8)          K=F/x  
     m=5kg       F=49N           49N/0,07,
                                           K=700N/M

                      EPE=1/2Kx^2
                  1/2(7000N/M)(0,07)^2
		EPE=1,715J
Problemas mixtos
Trabajo en clase

49. m=5kg     EPG=Mgh       
      h=28    (5kg)(9,8)(28m)
      EPG =?
                       EPG =1372J

50. M=65kg           EC=1/2mv^2
     v=4,6m/s        1/2(65kg)(4,6m/s)^2
		      EC= 687,7J

51. K=40N/M        EPE=1/2Kx^2
     x=.05m           1/2(40N/M)(0,05)^2
     EPE=?                   EPE=0,05J

52.  h=?             EPG=mgh        
      EPG=76J     76J=(3.5kg)(9,8)h
      M=3,5kg        H=76J/(9,8) (3,5)
                        H=2,22m

Trabajo en clase (Cont.)
53. K=450N/M   EPE=1/2Kx^2
     EPE=46J         46J=1/2(450)x^2
      x=?                    x=√(2)(46)/(450)
                                  x=0,45m

54. EC=1500J              EC=1/2mv^2
     m=60kg              1500J=1/2(60kg)v^2
      v=?                    v= √(2)(1500)/(60kg))
                                  v=7,07m/s
Tarea en casa

55.  K=270N/M   EPE=1/2Kx^2
     EPE=5J         5J=1/2(270)x^2
      x=?                    x=√(2)(5)/(270)
                                  x=0,19m

56. EC=.36J              EC=1/2mv^2
     m=.02kg              0,36J=1/2(0,02kg)v^2
      v=?                    v= √(2)(0,36)/(0,02kg))
                                  v=6m/s

57.  V=12m/s           EC=1/2mv^2
      EC=3600J          3600J=1/2m(12m/s)^2
      M=?                 m=(2)3600J/(12m/s^2)
                                  M=50kg

  58. M=0,5kg         EPG=Mgh
     h=2,5m        20J= (0,5kg)g(2,5m)
   EPG=20J    g=20J/(0,5kg)(2,5m)
      g=?              g=16m/s^s

  59. h=?               EPG=mgh        
       EPG=2400J   2400J=(50kg)(9,8)h
       M=50kg         H=2400J/(9,8) (50kg)
                              H=4900m
  
 60.  EPE=(3*10^-3)J  EPE=1/2Kx^2
        x=.01                  3*10^-3 J=1/2k(0,01)^2
                                   k= 3*10^-3/(9,8*10^-4)
                              K=60 N/M

61. V=14m/s           KE=1/2mv^2
      KE=37J          37J=1/2m(14m/s)^2
      M=?                 m=(2)37J/(14m/s^2)
                                  M=0,377kg

Conservación de la energía
Ejemplos

b)	EC= EPE         1/2mv^2=1/2Kx^2
      k = 250N/M      √k(x^2)/m = v
      x=0,05       v=?     √250(0,05^2)/0,025 = v
      m=0,025  			
                             v=5m/s

e.	EPE = EPG        1/2Kx^2 = mgh
     k=180N/M        k(x^2)/2gm = h m=0,004kg  h=?  180(0,03^2)/2(9,8)0,004 = h
     x=0,03                H=2,06m

64. A) EPG=EPE                  1/2Kx^2 = mgh
           mgh = 1/2Kx^2         k(x^2)/2gm=h
     m=0,002kg      120(0,04^2)/2(9,8)0,002=h
           k=120N/M             
           x=0,04       H=?      H=4,89m
    
      B) EC = EPE    1/2mv^2= 1/2Kx^2
             v=?             √k(x^2)/m = v
		       √120(0,04^2)/0,002= v
                           v=9,8m/s

b)	EC=GPE        1/2mv^2=mgh
       v=25m/s         (v^2)/2g = H
      g=9,8 m/ss     (25^2)/2(9,8) = H
                            H=31,9m

Trabajo en clase

f.	W =Fd     F=mg
     m=3kg       F= 3(9,8)= 29,4N
     d=0,75m              W= (29,4) (0,75)
		W=22,05J

Trabajo en clase (Cont.)

e.	EPG=EC      mgh=1/2mv^2
      H=134m       √2gh = v
      g=9,8 m/ss    √2(9,8)134 = v
		   v=51,24m/s

2)	F=kx       EPE=GPE   1/2Kx^2 = mgh 
      F= 10N                      k(x^2)/2gm=h
      x= .05             200(0,05^2)/2(9,8)0,002=h
    F/x =k                        
   10/0,05= 200N/M           H=12,8m

1)	EPG=EC          1/2mv^2=mgh
      v=8m/s               (v^2)/2g = H
      g=9,8m/ss       (8^2)/2(9,8) = H
 		   H=3,27m

1)	EPG = EPE      EPG = 1/2Kx^2
      EPG = 56J        √2(56)/130=x
      k = 130 N/M    x=0,93

1)	A) Eo+W=Ef     W= Ef-Eo
      m=8,5*10^5   vf=15   vi=10
             W= 8,5*10^5(0,5)((15^2)-(10^2))
       W=5,3125*10^7 J
     
      B)  Eo+W=Ef     W= Ef-Eo
      m=8,5*10^5    vf=20m/s   vi=15m/s
             W= 8,5*10^5(0,5)((20^2)-(15^2))
         W=7,4375*10^7 J
      
      C) EC = EC =1/2mv^2
           v = 20m/s
                             EC = 1/2(8,5*10^5)(20^2)
         EC =1,7*10^8 J

Trabajo en casa

1)	EC = W    EC = 1/2mv^2
      m=2000kg    EC =(1/2)(2000)(30^2)
      v= 30m/s      W=900.000

73. EC = EPG    mgh=1/2mv^2
      H=2,7m       √2gh = v
      g=9,8 m/ss    √2(9,8)2,7 = v
		   v=7,27m/s

74. EC= EPG     mgh=1/2mv^2
      H=125m       √2gh = v
      g=9,8 m/ss    √2(9,8)125 = v
		   v=49.49m/s

	EC=1/2mv^2    EC=W   m= 1500kg            EC=(1/2)(1500)(20^2)    v=20m/s           
                   W=300.000J

76. EC=EPG        1/2mv^2=mgh
       v=190m/s         (190^2)/2g = H
      g=9,8 m/ss     (190^2)/2(9,8) = H
                            H=1841,83m

77. EPE = CE        1/2mv^2=1/2Kx^2
      k = 395N/m      √k(x^2)/m = v
      x=0,005     v=?     √395(0,005^2)/0,5 = v
      m=0,5kg 			
                             v=0,14m/s

	A) EPE =EC       1/2Kx^2 = mgh 
       k=220            k(x^2)/2gm=h
    x=0,02          220(0,02^2)/2(9,8)(0,003)=h
       m= 0,003kg       H=1,5m
       
      B) EPE =EC       1/2Kx^2 = mgh
      x=.04           k(x^2)/2gm=h
                    220(0,04^2)/2(9,8)(0,003)=h
                H=6m

Potencia
Ejemplos 

	P = W/t     t=1800s    W= 23*10^3J    
      P=(23*10^3)/1800

	P=12,77W

Potencia
Ejemplos (Cont.)

	 P = W/t   W= Pt 
     t=3,5(60)= 210s
     P=15*10^3W
	W=15*10^3(210)
     W=3,15*10^6J 

	P = W/t      t= W/P
      t= (300*10^3)/(400)
   
        t=750s

	P=Fv          P= (12)(3)
      F= 12N     
      v=3m/s       P=36W  

Trabajo en clase

	P = W/t	
     W=3500*10^3       P = (3500*10^3)/300
       t=5(60)=300s      P=11.666,7W

	P=W/t  W=Fd
      P=500W             Pt/d =F
      t=12s             (500)(12)/96 = 
      d= 96m         F=62,5N

	P =W/t 
     Pt =W                 (250*10^6w) (468) = W
     P=250*10^6 MW      
     t =468s    	         W=1,17*10^11 J

	P = W/t
      t = W/P           (278*10^3)/(95*10^3) =t     
     P = 95*10^3 KW         t=2,9s
     W=278*10^3 KJ       

Trabajo en casa

87. P = Fd/t
      t = Fd/P    m = 2000kg
      F=mg = (2000)(9,8)=19600N
      t = (19.600)(28)/(13*10^3) 
       t=42,2s

	P=mgd/t   P= 50*10^3    t = (1.4)(60)= 84
       pt/dg=m       d = 84m      g = 9,8m/ss
       (50*10^3)(84)/(50)(9,8) = m
		m=8571,42kg

	 P=Fv
       P=150*10^3 kW      P/v =F
       v=28*10^3Km/s 
                      (150*10^3)/(28*10^3)= F
         F =5,357N

	P=Fv
      F=467*10^3 kN     
      v = 21,6*10^3 Km/s
                    P= (467*10^3) (21,6*10^3)
         P=  1,008*10^10W

	P=Fv
      F = 7.35*10^3 kW      P/F=v
      P= 5.56*10^3 kN
		v=(7,35*10^3)/(5,56*10^3)
	v=1,32m/s

Problemas generales
92.a.                  

17.	     ΣF=ma
     Fa-μmg=ma
225-(0,3)(46)(10)/46
     a=2,54m/s^2

101.	x=xo+vot+1/2at^2
      x=1/2at^2
    1/2(2,54)(10)^2
       x=127m

d.   v=vo+at
     (2,54)(10)
     V=25,4m/s

i.	  EC=1/2mv^2
    1/2(46)(25,4)^2
    EC=14838,68J

i.	A) W=FD
     (255)(127) 
     W=32835J
c)	W=umgD   F=umg=138
    (138)(127)=
    W=17526J
f.	W=0J
c)	W=0J
g.	W=Fd
   F= 255-138=117
   (117)(138)= 14859J

g. son casi la misma

3)	a.       ΣF=ma
               F=μmg

Fn

Fa

Mg

Ffr

   
  F=(0,15)(50)(9,8)
              F=73,5N

2)	         W=FD
          (73,5)(7,5)
          W=551,25J

2)	Lo mismo que la parte b (551,25J)
2)	 0
2)	 0
3)	 0
4)	 0

94a.    EPG= MGH
            (0,25)(10)(8)
              EPG=2 J

	       EPG=EC
         EPG=1/2mv^2
       V=√(2GPE/m)
             √(4/0,25)
            V= 4m/s

	EPG1=EC+EPG2
√(2EPG1-2EPG2)/m)
     √(4-1,5)/0,25)
       v=3,16m/s

	   F = m v^2/r   
       F=(0,25) (4^2)/0,15
         F=26,66N      

	   F = m v^2/r
       F = (0,25) (3,16^2)/0,3
       F = 8,321N

Problemas generales (Cont.)    

95.

a. EPE

	   1/2Kx^2 = EPE   
       1/2(65)(0,035^2) = EPE =0,05J

	Alterna entre EPE y EC.

	EPE = EC
    0,05 = 1/2mv^2
   √(2)(0,05)/0,8 = 0,35m/s = EC v máx

96.

a. W=Fd  W = área triángulo
   0,5(10)(20)= 100J = W

	EC = W     W=100J

	EC = 1/2mv^2
    √(2)(100)/2,5 = 8,94 m/s = v

	300J=W = 100 + 200
	100 = (0,5)(10)(20)
            200 = (0,5)(20)(20)

	   EC = W    300J =EC

	 EC= 1/2mv^2
    √(2)(300)/2,5 = 15,49 m/s = v

97.

	F=ma      F/m = a   4/2 = 2m/ss=a

	 EC = 1/2mv^2
     √(2)(48)/2 = 6,92/2 = 3,46s =t

c.	w = Fd   W= área  W= (12)(4)= 48J

Fn 

mg

Fn& mg

f.      Las velocidades de A y C serían menores.

= W

d.	EC= 1/2mv^2    √(2)(48)/2 = 6,92m/s=v

e.  EC =1/2mv^2=(1/2)(2)v^2 =√64 =8m/s =v
	a. GPE=mgh
         (1,5)(9,8)(2,5) =36,75J = EPG
b.	EPGi=EC máx+EPG máx
  EPGi-EPG máx = EC máx(resolv. v en EC máx)
 √(2)(36,75-((10)(1,8)(1,5)))/1,5=3,7m/s=v

c.	EC= 1/2mv^2    
   √(2)(36,75)/1,5=7m/s=v 

d.	EPE =EC     EC= 36,75
    1/2Kx^2= 36,75
     √(2) 36,75/90=0,9m=x 

	 a. EPG = mgh   
          (500)(9,8)(70)= 343.000J=W
b.	EPG=EC
     √(2)(343.000)/500=37,04 m/s=v

c.	                   

d. EPGi-EPG máx=EC máx (resol. v en EC máx)
 
√(2)(343.000-((9,8)(30)(500)))/500=28m/s=v

e.